Question

【題目】已知函數 .

（1）當時，求函數 的極小值；

（2）若函數在上為增函數，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）當時，得出函數的解析式，求導數，令，解出的值，利用導數值的正負來求其單調區間進而求得極小值；

（2）求出，由于函數在是增函數，轉化為對任意恒成立，分類參數，利用導數的最小值，即可求實數的取值范圍．

試題解析：

（1）定義域為．

當時， ， ．

令，得．

當時， ， 為減函數；

當時， ， 為增函數．

所以函數的極小值是．

（2）由已知得．

因為函數在是增函數，所以對任意恒成立，

由得，即對任意的恒成立．　

設，要使“對任意恒成立”，只要.

因為，令，得．

當時， ， 為減函數；

當時， ， 為增函數．　

所以的最小值是．

故函數在是增函數時，實數的取值范圍是．