Question

14．已知f'（x）為定義在$（{0，\frac{π}{2}}）$上的函數f（x）的導函數，且cosx•f（x）＜f'（x）•sinx在$（{0，\frac{π}{2}}）$上恒成立，則（　　）

• A． $\sqrt{3}f（{\frac{π}{4}}）＞\sqrt{2}f（{\frac{π}{3}}）$
• B． $\sqrt{2}f（{\frac{π}{6}}）＞f（{\frac{π}{4}}）$
• C． $\sqrt{3}f（{\frac{π}{6}}）＜f（{\frac{π}{3}}）$
• D． $f（1）＜2f（{\frac{π}{6}}）sin1$

Answer 1

分析 設g（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$，根據已知可得g（x）在$（{0，\frac{π}{2}}）$上遞增，故g（$\frac{π}{6}$）＜g（$\frac{π}{3}$），代入整理可得答案．

解答 解：設g（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$，
則g′（x）=$\frac{f′（x）•sinx-cosx•f（x）}{{sin}^{2}x}$，
∵cosx•f（x）＜f'（x）•sinx在$（{0，\frac{π}{2}}）$上恒成立，
∴g′（x）＞0在$（{0，\frac{π}{2}}）$上恒成立，
所以g（x）在$（{0，\frac{π}{2}}）$上遞增，
所以g（$\frac{π}{6}$）＜g（$\frac{π}{3}$），
即$\frac{f（\frac{π}{6}）}{sin\frac{π}{6}}$＜$\frac{f（\frac{π}{3}）}{sin\frac{π}{3}}$，
整理得$\sqrt{3}f（{\frac{π}{6}}）＜f（{\frac{π}{3}}）$，
故選C．

點評 本題考查了利用導數研究函數的單調性，考查了學生的發散思維能力，本題解答的關鍵是根據給出的條件cosx•f（x）＜f'（x）•sinx進行聯想，構造函數g（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$．