Question

6．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，過右焦點F的直線l與橢圓C交于A，B兩點，當直線l的斜率為1時，坐標原點O到直線l的距離為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求橢圓的離心率；
（2）若直線可以繞點F轉動，動點P在橢圓上，當$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$時，求四邊形OAPB的面積．

Answer 1

分析 （1）F（c，0），直線l的方程為：y=x-c，可得：$\frac{c}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得c．又a²=2+c²，即可得出$e=\frac{c}{a}$．
（2）曲線C的方程：$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1，F（1，0）．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y）．設直線l：x=ky+1（k≠0）代入橢圓方程可得：（2k²+3）y²+4ky-4=0，利用根與系數的關系及其$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$，可得 P$（\frac{6}{2{k}^{2}+3}，\frac{-4k}{2{k}^{2}+3}）$，把P坐標代入橢圓方程，解得k，由于對稱性知，當k=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，直線l：x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$y-1=0，利用點到直線的距離公式可得：坐標原點到直線l的距離為d₁，點P到直線l的距離為d₂，|AB|．可得S=$\frac{1}{2}|AB|（p9vv5xb5_{1}+p9vv5xb5_{2}）$．

解答 解：（1）F（c，0），直線l的方程為：y=x-c，
可得：$\frac{c}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得c=1．
又a²=2+1=3，∴$e=\frac{c}{a}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（2）曲線C的方程：$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1，F（1，0）．
  設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y）
設直線l：x=ky+1（k≠0）代入橢圓方程可得：（2k²+3）y²+4ky-4=0，
∴y₁+y₂=$-\frac{4k}{2{k}^{2}+3}$，y₁•y₂=-$\frac{4}{2{k}^{2}+3}$．
x₁+x₂=k（y₁+y₂）+2=$\frac{6}{2{k}^{2}+3}$．
∵$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$，
則 P$（\frac{6}{2{k}^{2}+3}，\frac{-4k}{2{k}^{2}+3}）$，
∵P在橢圓上，∴$2×\frac{36}{（2{k}^{2}+3）^{2}}$+3×$\frac{16{k}^{2}}{（2{k}^{2}+3）^{2}}$-6=0，
化為：4k⁴+4k²-3=0，解得k=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$．
由于對稱性知，當k=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，直線l：x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$y-1=0，P$（\frac{3}{2}，-\frac{\sqrt{2}}{2}）$．
坐標原點到直線l的距離為d₁=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，點P到直線l的距離為d₂=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
|AB|=$\sqrt{（1+2）[（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}]}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
∴S=$\frac{1}{2}|AB|（p9vv5xb5_{1}+p9vv5xb5_{2}）$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查了直線與橢圓的相交弦長問題、點到直線的距離公式、向量坐標運算性質、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．