Question

本題滿分12分）
在直角坐標平面內，已知點，動點滿足 .
(1)求動點的軌跡的方程；
(2)過點作直線與軌跡交于兩點，線段的中點為,軌跡的右端點為點N，求直線MN的斜率的取值范圍.

Answer 1

解: (1)由橢圓的定義知，點P的軌跡是以點A、B為焦點的橢圓，……….……….1分
且，   ∴……….……….3分
∴動點的軌跡的方程是.     ………………… 4分
(2)解法一：依題意，直線過點且斜率不為零，故可設其方程為,
由方程組  消去，并整理得
  ……….……….5分

(2)當時,
 
.
.
且 .  …………………………… 11分
綜合(1)、(2)可知直線MN的斜率的取值范圍是：.……………… 12分
解法二：依題意，直線過點且斜率不為零.
（1）當直線與軸垂直時，點的坐標為，此時，；   …………5分

,            …………… 9分

.
且 .       ………………………………………… 11分
綜合(1)、(2)可知直線MN的斜率的取值范圍是：.………… 12分

解析