Question

16．已知動點P在橢圓$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{27}=1$上，若點A的坐標為（3，0），點M滿足$|\overrightarrow{AM}|=1$，$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{AM}=0$，則$|\overrightarrow{PM}|$的最小值是（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $2\sqrt{2}$
• D． 3

Answer 1

分析 求得橢圓的a，b，c，由題設條件，結合向量的性質，推導出|$\overrightarrow{PM}$|²=|$\overrightarrow{AP}$|²-1，再由|$\overrightarrow{AP}$|越小，|$\overrightarrow{PM}$|越小，能求出|$\overrightarrow{PM}$|的最小值．

解答 解：橢圓$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{27}=1$中，a=6，c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\sqrt{36-27}$=3，
∵$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{AM}=0$，∴$\overrightarrow{PM}$⊥$\overrightarrow{AM}$，
∴|$\overrightarrow{PM}$|²=|$\overrightarrow{AP}$|²-|$\overrightarrow{AM}$|²
∵|$\overrightarrow{AM}$|=1，∴|$\overrightarrow{AM}$|²=1，
∴|$\overrightarrow{PM}$|²=|$\overrightarrow{AP}$|²-1，
∵|$\overrightarrow{AM}$|=1，
∴點M的軌跡為以點A為圓心，1為半徑的圓，
∵|$\overrightarrow{PM}$|²=|$\overrightarrow{AP}$|²-1，|$\overrightarrow{AP}$|越小，|$\overrightarrow{PM}$|越小，
結合圖形知，當P點為橢圓的右頂點時，
|$\overrightarrow{AP}$|取最小值a-c=6-3=3，
∴|$\overrightarrow{PM}$|最小值是$\sqrt{{3}^{2}-1}$=2$\sqrt{2}$．
故選：C．

點評 本題考查橢圓上的線段長的最小值的求法，解題時要認真審題，要熟練掌握橢圓的性質，是中檔題．