Question

（本小題滿分14分）已知圓經過點A（－2,0），B（0,2），且圓心在直線y＝x上，又直線l：y＝kx＋1與圓相交于P、Q兩點．

（1）求圓的方程；

（2）若，求實數k的值；

（3）過點作動直線交圓于，兩點．試問：在以為直徑的所有圓中，是否存在這樣的圓，使得圓經過點？若存在，求出圓的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）；（2）；

（3）在以為直徑的所有圓中，存在圓：或，使得圓經過點．

【解析】

試題分析：（1）根據題意設出圓心和半徑，列出和的方程，求得圓的方程；（2）根據,

求得，所以圓心到直線的距離為，求得的值；（3）若圓經過點，則必有即①，當直線的斜率不存在時，顯然滿足題意得圓，當直線的斜率存在時，設其斜率為，直線的方程為：，代入圓的方程，由韋達定理，得到的值，聯立①解得的值，存在所求的圓，進而得到所求的圓的方程.

試題解析：（1）設圓心C（a，a），半徑為r.因為圓C經過點A（－2,0），B（0,2），所以|AC|＝|BC|＝r，易得a＝0，r＝2，所以圓C的方程是. 3分

（2）因為·＝2×2×cos〈，〉＝－2，且與的夾角為∠POQ，

所以cos∠POQ＝－，∠POQ＝120°，所以圓心C到直線l：kx－y＋1＝0的距離d＝1，

又d＝，所以. 7分

（聯立直線與圓的方程求解酌情給分）

（3）（ⅰ）當直線的斜率不存在時，直線經過圓的圓心，此時直線與圓的交點為，，即為圓的直徑，而點在圓上，即圓也是滿足題意的圓 8分

（ⅱ）當直線的斜率存在時，設直線，由，

消去整理，得，由△，得或．

設，則有 ① 9分

由①得， ②

， ③

若存在以為直徑的圓經過點，則，所以，

因此，即， 10分

則，所以，，滿足題意． 12分

此時以為直徑的圓的方程為，

即，亦即． 13分

綜上，在以為直徑的所有圓中，存在圓：或

，使得圓經過點． 14分

考點：1.圓的方程；2.直線方程；3.韋達定理.