Question

已知a＞0，b＞0，若不等式

m

3a+b

-

3

a

-

1

b

≤0恒成立，則m的最大值為

 

．

Answer 1

考點：函數恒成立問題

專題：不等式的解法及應用

分析：依題意，得m≤（

3

a

+

1

b

）（3a+b）=9+

3b

a

+

3a

b

+1恒成立，構造函數g（a，b）=9+

3b

a

+

3a

b

+1，利用基本不等式可求得g（a，b）_min=16，從而可求m的最大值．

解答： 解：∵不等式

m

3a+b

-

3

a

-

1

b

≤0恒成立，
∴

m

3a+b

≤

3

a

+

1

b

，又a＞0，b＞0，
∴m≤（

3

a

+

1

b

）（3a+b）=9+

3b

a

+

3a

b

+1恒成立，
令g（a，b）=9+

3b

a

+

3a

b

+1，
則m≤g（a，b）_min，
∵g（a，b）=9+

3b

a

+

3a

b

+1≥10+2

3b a • 3a b

=16（當且僅當a=b時取“=”），
∴g（a，b）_min=16，
∴m≤16，
∴m的最大值為16，
故答案為：16．

點評：本題考查函數恒成立問題，考查構造函數的思想與等價轉換的思想的綜合應用，突出考查基本不等式的應用，屬于中檔題．