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已知直線的方向向量為及定點,動點滿足,
MN
+
MF
=2
MG
MG
•(
MN
-
MF
)=0
,其中點N在直線l上.
(1)求動點M的軌跡C的方程;
(2)設A、B是軌跡C上異于原點O的兩個不同動點,直線OA和OB的傾斜角分別為α和β,若α+β=θ為定值(0<θ<π),試問直線AB是否恒過定點,若AB恒過定點,請求出該定點的坐標,若AB不恒過定點,請說明理由.
(1)由題意知:|MF|=|MN|,
由拋物線的定義知,點M的軌跡為拋物線,其中F(2,0)為焦點,
x=-2為準線,
所以軌跡方程為y2=8x;…(4分)
(2)設A(x1,y1),B(x2,y2),
由題意得x1≠x2(否則α+β=π)且x1,x2≠0,
所以AB的斜率存在,設其方程為y=kx+b,
顯然x1=
y21
8
x2=
y22
8

將y=kx+b與y2=8x消去x,得ky2-8y+8b=0,由韋達定理知y1+y2=
8
k
y1y2=
8b
k
①…(6分)
(i)當θ=
π
2
時,即α+β=
π
2
時,
tanα•tanβ=1,
所以
y1
x1
y2
x2
=1,x1x2-y1y2=0
y21
y22
64
-y1y2=0

所以y1y2=64,由①知:
8b
k
=64
,所以b=8k.
因此直線AB的方程可表示為y=kx+8k,
即k(x+8)-y=0所以直線AB恒過定點(-8,0)…(8分)
(ii)當θ≠
π
2
時,由α+β=θ,
得tanθ=tan(α+β)=
tanα+tanβ
1-tanαtanβ
=
8(y1+y2)
y1y2-64
,…(10分)
將①式代入上式整理化簡可得:tanθ=
8
b-8k

所以b=
8
tanθ
+8k

此時,直線AB的方程可表示為y=kx+
8
tanθ
+8k

k(x+8)-(y-
8
tanθ
)=0

所以直線AB恒過定點(-8,
8
tanθ
)

θ=
π
2
時,AB恒過定點(-8,0),當θ≠
π
2
時,
AB恒過定點(-8,
8
tanθ
)
.…(12分)
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

已知直線的方向向量為及定點,動點滿足,
MN
+
MF
=2
MG
MG
•(
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-
MF
)=0
,其中點N在直線l上.
(1)求動點M的軌跡C的方程;
(2)設A、B是軌跡C上異于原點O的兩個不同動點,直線OA和OB的傾斜角分別為α和β,若α+β=θ為定值(0<θ<π),試問直線AB是否恒過定點,若AB恒過定點,請求出該定點的坐標,若AB不恒過定點,請說明理由.

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科目:高中數學 來源: 題型:

(09年東城區期末理)(13分)

 已知橢圓的對稱軸為坐標軸,且拋物線的焦點是橢圓的一個焦點,又點在橢圓上.

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)已知直線的方向向量為,若直線與橢圓交于兩點,求面積的最大值.

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科目:高中數學 來源:2011-2012學年黑龍江省高三上學期期末考試文科數學試卷 題型:解答題

已知橢圓的對稱軸為坐標軸,且拋物線的焦點是橢圓的一個焦點,又點在橢圓上.

(1)求橢圓M的方程;

(2)已知直線的方向向量為  ,若直線與橢圓交于兩點,求面積的最大值.

 

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知橢圓的對稱軸為坐標軸,且拋物線的焦點是橢圓的一個焦點,又點在橢圓上.

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)已知直線的方向向量為,若直線與橢圓交于兩點,求面積的最大值.

 

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科目:高中數學 來源:2009-2010學年重慶一中高二(上)期末數學試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

已知直線的方向向量為及定點,動點滿足,,其中點N在直線l上.
(1)求動點M的軌跡C的方程;
(2)設A、B是軌跡C上異于原點O的兩個不同動點,直線OA和OB的傾斜角分別為α和β,若α+β=θ為定值(0<θ<π),試問直線AB是否恒過定點,若AB恒過定點,請求出該定點的坐標,若AB不恒過定點,請說明理由.

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