Question

已知直線的方向向量為及定點，動點滿足，

MN

+

MF

=2

MG

，

MG

•(

MN

-

MF

)=0，其中點N在直線l上．
（1）求動點M的軌跡C的方程；
（2）設(shè)A、B是軌跡C上異于原點O的兩個不同動點，直線OA和OB的傾斜角分別為α和β，若α+β=θ為定值（0＜θ＜π），試問直線AB是否恒過定點，若AB恒過定點，請求出該定點的坐標，若AB不恒過定點，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意知：|MF|=|MN|，由拋物線的定義知，點M的軌跡為拋物線，由此能求出軌跡方程．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由題意得x₁≠x₂，所以AB的斜率存在，設(shè)其方程為y=kx+b，韋達定理知y1+y2=

8

k

，y1•y2=

8b

k

，當(dāng)θ=

π

2

時，直線AB恒過定點（-8，0）；當(dāng)θ≠

π

2

時，直線AB恒過定點(-8，

8

tanθ

)．

解答：解：（1）由題意知：|MF|=|MN|，
由拋物線的定義知，點M的軌跡為拋物線，其中F（2，0）為焦點，
x=-2為準線，
所以軌跡方程為y²=8x；…（4分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由題意得x₁≠x₂（否則α+β=π）且x₁，x₂≠0，
所以AB的斜率存在，設(shè)其方程為y=kx+b，
顯然x1=

y 2 1

8

，x2=

y 2 2

8

，
將y=kx+b與y²=8x消去x，得ky²-8y+8b=0，由韋達定理知y1+y2=

8

k

，y1•y2=

8b

k

①…（6分）
（i）當(dāng)θ=

π

2

時，即α+β=

π

2

時，
tanα•tanβ=1，
所以

y1

x1

•

y2

x2

=1，x1x2-y1y2=0，

y 2 1 y 2 2

64

-y1y2=0，
所以y₁y₂=64，由①知：

8b

k

=64，所以b=8k．
因此直線AB的方程可表示為y=kx+8k，
即k（x+8）-y=0所以直線AB恒過定點（-8，0）…（8分）
（ii）當(dāng)θ≠

π

2

時，由α+β=θ，
得tanθ=tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

8(y1+y2)

y1y2-64

，…（10分）
將①式代入上式整理化簡可得：tanθ=

8

b-8k

，
所以b=

8

tanθ

+8k，
此時，直線AB的方程可表示為y=kx+

8

tanθ

+8k，
即k(x+8)-(y-

8

tanθ

)=0
所以直線AB恒過定點(-8，

8

tanθ

)
當(dāng)θ=

π

2

時，AB恒過定點（-8，0），當(dāng)θ≠

π

2

時，
AB恒過定點(-8，

8

tanθ

)．…（12分）

點評：本題主要考查橢圓標準方程，簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，圓的簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．