Question

已知函數(shù)y=g（x）與f（x）=log_a^（x+1）（a＞1）的圖象關(guān)于原點對稱．
（1）寫出y=g（x）的解析式；
（2）若函數(shù)F（x）=f（x）+g（x）+m為奇函數(shù)，試確定實數(shù)m的值；
（3）當(dāng)x∈[0，1）時，總有f（x）+g（x）≥n成立，求實數(shù)n的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)M（x，y）是函數(shù)y=g（x）圖象上任意一點，進而可得M（x，y）關(guān)于原點的對稱點為N的坐標(biāo)，代入f（x）中進而求得x和y的關(guān)系式．
（2）跟函數(shù)F（x）為奇函數(shù)求得F（-x）=-F（x）代入解析式即可求得m的值．
（3）利用f（x）+g（x）≥n求得，設(shè)，只要Q（x）_min≥n即可，根據(jù)在[0，1）上是增函數(shù)進而求得函數(shù)的最小值，求得n的范圍．
解答：解：（1）設(shè)M（x，y）是函數(shù)y=g（x）圖象上任意一點，
則M（x，y）關(guān)于原點的對稱點為N（-x，-y）
N在函數(shù)f（x）=log_a（x+1）的圖象上，
∴-y=log_a（-x+1）
（2）∵F（x）=log_a^（x+1）-log_a^（1-x）+m為奇函數(shù)．
∴F（-x）=-F（x）
∴l(xiāng)og_a^（1-x）-log_a^（1+x）+m=-log_a^（1+x）+log_a^（1-x）-m
∴，∴
（3）由
設(shè)，由題意知，只要Q（x）_min≥n即可
∵在[0，1）上是增函數(shù)
∴n≤0
點評：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用．考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力．