Question

如圖，三棱錐D-ABC中，AB=BC=2，BD=3，∠ABC=∠DBA=∠DBC=60°，E為AC的中點．
（1）求證：AC⊥平面BDE．
（2）求三棱錐D-ABC的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）運用題目條件得出BE⊥AC，DE⊥AC．運用判定定理得證AC⊥平面BDE．
（Ⅱ）求出DE=

6

，判斷DE⊥平面ABC，得出又S△ABC=

1

2

×2×

3

=

3

，運用并體積公式V_D-ABC=

1

3

×

3

×

6

=

2

．

解答： 解：（Ⅰ）∵∠ABC=60°，AB=BC=2，
∴△ABC為等邊三角形．
又∵E為AC的中點，∴BE⊥AC，
又∵AB=BC，∠DBA=∠DBC，BD=BD
∴△ABD≌△CBD，DA=DC，
∴DE⊥AC．
∴AC⊥平面BDE．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，△AEB、△AED都是直角三角形，
在△AEB中，BE=

3

，
在△ABD中，DA²=AB²+BD²-2AB×BDcos60°=7
在△AED中，DE²=DA²-AE²=6，DE=

6

，
∴DE²+BE²=9=BD²
∴∠DEB=90°，DE⊥BE      
又∵DE⊥AC，∴又S△ABC=

1

2

×2×

3

=

3

，
∴V_D-ABC=

1

3

×

3

×

6

=

2

．

點評：本題考查了空間幾何體的性質，運用判斷垂直，求解體積等問題，屬于中檔題．