Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，圓（x-1）²+y²=4被雙曲線的一條漸近線截得的弦長為

15

，則此雙曲線的離心率為（　　）

• A、

  3

  2

• B、

  2 3

  3

• C、2
• D、

  3 3

  2

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：先根據雙曲線方程求得其中一條漸近線方程，根據題意可知圓心到漸近線的距離為

1

2

，進而表示出圓心到漸近線的距離，求得a，b的關系，即可求出雙曲線的離心率．

解答： 解：依題意可知雙曲線的一漸近線方程為bx-ay=0，
∵弦長為

15

，圓的半徑為2，
由弦長的一半、半徑和圓心到直線的距離構成直角三角形，
則圓心到漸近線的距離d=

22-( 15 2 )2

=

1

2

，
即

|b|

a2+b2

=

1

2

，即a²=3b²，
∴c²=b²+a²=4b²=

4

3

a²，
∴雙曲線的離心率為e²=

4

3

，
∴雙曲線的離心率為e=

2 3

3

．
故選：B

點評：本題主要考查了雙曲線的簡單性質．解題的關鍵是利用圓中弦長的一半、半徑和圓心到直線的距離構成直角三角形，求得圓心到漸近線的距離．