Question

已知函數f（x）=e^x-ax（a∈R）．
（1）求f（x）的極值；
（2）若f（x）≥x+b恒成立，求（a+1）b的最大值．

Answer 1

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用,函數恒成立問題,利用導數研究函數的極值

專題：導數的綜合應用

分析：（1）求出函數的導數f'（x）=e^x-a，通過當a≤0時，當a＞0時，判斷函數的單調性，求解函數f（x）取得極小值．
（2）通過f（x）≥x+b恒成立，轉化為 e^x-（a+1）x≥b．通過（i）若a+1＜0，（ii）若 a+1=0，分別求解判斷是否恒成立．（iii）若a+1＞0，設g（x）=e^x-（a+1）x，通過導數 g'（x）=e^x-（a+1），求出函數的最值，從而得到結果．

解答： 解：（1）由題意可得f'（x）=e^x-a，顯然，當a≤0時，f'（x）＞0恒成立，所以函數f（x）在R上單調遞增，函數f（x）不存在極值．
當a＞0時，由f'（x）＞0，得 x＞lna，
當x∈（lna，+∞）時，f'（x）＞0，函數f（x）單調遞增，當x∈（-∞，lna）時，f'（x）＜0，函數f（x）單調遞減，所以 x=lna時，函數f（x）取得極小值，f（lna）=a-alna.4分
（2）f（x）≥x+b恒成立，即e^x-ax≥x+b，得 e^x-（a+1）x≥b．
（i）若a+1＜0，對任意實數b，x＜0時，因為e^x＜1，
所以 e^x-（a+1）x＜1-（a+1）x，令 1-（a+1）x＜b，得 x＜

1-b

a+1

，
因此，a+1＜0，f（x）≥x+b不恒成立．
（ii）若 a+1=0，則（a+1）b=0．
（iii）若a+1＞0，設g（x）=e^x-（a+1）x，則 g'（x）=e^x-（a+1），
當x∈（-∞，ln（a+1））時，g'（x）＜0，當x∈（ln（a+1），+∞）時，g'（x）＞0，從而g（x）在（-∞，ln（a+1））上單調遞減，在（ln（a+1），+∞）上單調遞增，
故g（x）有最小值，
g（ln（a+1））=a+1-（a+1）ln（a+1），所以f（x）≥x+b恒成立等價于b≤a+1-（a+1）ln（a+1），因此 （a+1）b≤（a+1）²-（a+1）²ln（a+1），10分
設h（a）=（a+1）²-（a+1）²ln（a+1），則h'（a）=（a+1）（1-2ln（a+1）），
所以 h（a）在（-1，e

1

2

-1）上單調遞增，在（e

1

2

-1，+∞）上單調遞減，故h（a）在a=e

1

2

-1處取得最大值h（e

1

2

-1）=

e

2

，從而h（a）≤

e

2

，即（a+1）b≤

e

2

，所以（a+1）b的最大值是

e

2

.12分．

點評：本題考查函數的導數的綜合應用，考查分類討論思想的應用，函數的單調性的應用，函數的恒成立的轉化，考查分析問題解決問題的能力，是難題．