Question

如圖，已知?ABCD中，E是AB的中點，F是BE的中點，DF，CE相較于點O，已知

AB

=

a

，

AD

=

b

，用

a

，

b

的線性組合表示

OD

、

EO

．

Answer 1

考點：平面向量的基本定理及其意義

專題：平面向量及應用

分析：由題設可知，△EOF∽△COD，所以

OD

OF

=

OC

OE

，那么向量

OD

與

FD

共線所存在的常數和

CO

與

CE

共線所存在的常數相等，設為k，則

OD

=k

FD

，

CO

=k

CE

，根據向量的加法與減法，可用

a

，

b

分別來表示

FD

，

CE

，從而得到

OD

=-

3k

4

a

+k

b

，

CO

=-

k

2

a

-k

b

，而根據

CO

+

OD

=-

a

可求出k，這樣即可用

a

，

b

表示

OD

，

EO

．

解答： 解：由已知條件知，△EOF∽△COD；
∴

OD

OF

=

OC

OE

；

CO

與

CE

共線，∴存在k使

CO

=k

CE

=k(

BE

-

BC

)=k(-

1

2

AB

-

AD

)=-

k

2

a

-k

b

；
同理

OD

與

FD

共線，存在k使

OD

=-

3k

4

a

+k

b

；
又

CO

+

OD

=

CD

=-

a

；
∴-

k

2

a

-k

b

-

3k

4

a

+k

b

=-

a

；
∴k=

4

5

；
∴

OD

=-

3

5

a

+

4

5

b

，

EO

=

1

10

a

+

1

5

b

．

點評：考查三角形相似的定義及對應邊的比例關系，共線向量基本定理，以及向量的加法、減法運算．