Question

10．記所有非零向量構成的集合為V，對于$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$∈V，$\overrightarrow{a}$≠$\overrightarrow$，定義V（$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$）=|x∈V|x•$\overrightarrow{a}$=x•$\overrightarrow$|
（1）請你任意寫出兩個平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，并寫出集合V（$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$）中的三個元素；
（2）請根據你在（1）中寫出的三個元素，猜想集合V（$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$）中元素的關系，并試著給出證明；
（3）若V（$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$）=V（$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{c}$），其中$\overrightarrow$≠$\overrightarrow{c}$，求證：一定存在實數λ₁，λ₂，且λ₁+λ₂=1，使得$\overrightarrow{a}$=λ₁$\overrightarrow$+λ₂$\overrightarrow{c}$．

Answer 1

分析 （1）比如$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow$=（3，4），設$\overrightarrow{x}$=（x，y），運用數量積的坐標表示，即可得到所求元素；
（2）由（1）可得這些向量共線．理由：設$\overrightarrow{x}$=（s，t），$\overrightarrow{a}$=（a，b），$\overrightarrow$=（c，d），運用數量積的坐標表示，以及共線定理即可得到；
（3）設$\overrightarrow{x}$=（s，t），$\overrightarrow{a}$=（a，b），$\overrightarrow$=（c，d），$\overrightarrow{y}$=（u，v），$\overrightarrow{c}$=（e，f），運用新定義和數量積的坐標表示，解方程可得a，即可得證．

解答 解：（1）比如$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow$=（3，4），設$\overrightarrow{x}$=（x，y），
由$\overrightarrow{x}$•$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{x}$•$\overrightarrow$，可得x+2y=3x+4y，
即為x+y=0，
則集合V（$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$）中的三個元素為（1，-1），（2，-2），（3，-3）；
（2）由（1）可得這些向量共線．
理由：設$\overrightarrow{x}$=（s，t），$\overrightarrow{a}$=（a，b），$\overrightarrow$=（c，d），
由$\overrightarrow{x}$•$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{x}$•$\overrightarrow$，可得as+bt=cs+dt，
即有s=$\frac{d-b}{a-c}$t，
即$\overrightarrow{x}$=（$\frac{d-b}{a-c}$t，t），
故集合V（$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$）中元素的關系為共線；
（3）證明：設$\overrightarrow{x}$=（s，t），$\overrightarrow{a}$=（a，b），$\overrightarrow$=（c，d），
$\overrightarrow{y}$=（u，v），$\overrightarrow{c}$=（e，f），
若V（$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$）=V（$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{c}$），
即有as+bt=cs+dt，au+bv=ue+fv，
解得a=$\frac{sv}{sv-ut}$•c+$\frac{-ut}{sv-ut}$•e+$\frac{（d-f）vt}{sv-ut}$，
可令d=f，可得λ₁=$\frac{sv}{sv-ut}$，
λ₂=$\frac{-ut}{sv-ut}$，
則一定存在實數λ₁，λ₂，且λ₁+λ₂=1，使得$\overrightarrow{a}$=λ₁$\overrightarrow$+λ₂$\overrightarrow{c}$．

點評 本題考查新定義的理解和運用，以及平面向量的數量積的坐標表示，考查化簡整理運算和推理能力，屬于中檔題．