Question

15．在邊長為4的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E為CD的中點，則$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BD}$=（　　）

• A． 4
• B． 8
• C． -6
• D． -4

Answer 1

分析 可畫出圖形，根據條件可得到∠ADC=120°，$|\overrightarrow{DA}|=|\overrightarrow{DC}|=4$，并可得到$\overrightarrow{AE}=-\overrightarrow{DA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{BD}=-\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DC}$，這樣代入$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BD}$進行數量積的運算即可求出該數量積的值．

解答 解：如圖，

根據條件：∠ADC=120°，$|\overrightarrow{DA}|=|\overrightarrow{DC}|=4$；
且$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DE}=-\overrightarrow{DA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{BD}=-\overrightarrow{DB}=-（\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}）$；
∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BD}=（-\overrightarrow{DA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}）$$•（-\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DC}）$
=${\overrightarrow{DA}}^{2}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{DC}-\frac{1}{2}{\overrightarrow{DC}}^{2}$
=16-4-8
=4．
故選：A．

點評 考查菱形的概念，向量加法的平行四邊形法則，向量加法的幾何意義，以及相反向量的概念，向量數量積的運算及計算公式．