Question

17．變量x、y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x-4y+3≤0}\\{3x+5y-25≤0}\\{x≥1}\end{array}\right.$
（1）設z=$\frac{y}{x-1}$，求z的取值范圍；
（2）設z=x²+y²，求z的最小值．

Answer 1

分析 （1）z的幾何意義是區域內的點與定點（1，0）的斜率，利用斜率進行求解即可．
（2）z的幾何意義是兩點間的距離的平方，利用距離公式進行求解即可．

解答 解：（1）作出不等式組對應的平面區域如圖，
z=$\frac{y}{x-1}$的幾何意義是區域內的點與定點D（1，0）的斜率，
由圖象知CD的斜率最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-4y+3=0}\\{3x+5y-25=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=2}\end{array}\right.$，即C（5，2），
則CD的斜率k=$\frac{2}{5-1}=\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，
即z的取值范圍是[$\frac{1}{2}$，+∞）．
（2）z的幾何意義是兩點間的距離的平方，
由圖象知OA的距離最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{x-4y+3=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$，即A（1，1），
則z的最小值為z=1²+1²=2．

點評 本題主要考查線性規劃的應用，根據直線斜率和兩點間的距離公式是解決本題的關鍵．注意利用數形結合的數學思想進行求解．