Question

已知四面體ABCD(圖1),將其沿AB,AC,AD剪開,展成的平面圖形正好是圖2所示的直角梯形A₁A₂A₃D(梯形的頂點A₁,A₂,A₃重合于四面體的頂點A).

(1)證明:AB⊥CD.

(2)當A₁D=10,A₁A₂=8時,求四面體ABCD的體積.

Answer 1

 (1)在四面體ABCD中,

⇒AB⊥平面ACD⇒AB⊥CD.

(2)在題圖2中作DE⊥A₂A₃于E.

因為A₁A₂=8,所以DE=8.

又因為A₁D=A₃D=10,

所以EA₃=6,A₂A₃=10+6=16.

又A₂C=A₃C,所以A₃C=8,

即題圖1中AC=8,AD=10,

由A₁A₂=8,A₁B=A₂B得題圖1中AB=4,

所以S_△ACD==DE·A₃C=×8×8=32.

又因為AB⊥平面ACD,

所以V_B-ACD=×32×4=.