Question

已知四面體ABCD（圖1），沿AB、AC、AD剪開，展成的平面圖形正好是圖2所示的直角梯形A₁A₂A₃D（梯形的頂點A₁、A₂、A₃重合于四面體的頂點A）．
（1）證明：AB⊥CD．
（2）當A₁D=10，A₁A₂=8時，求四面體ABCD的體積．

Answer 1

分析：（1）要證AB⊥CD，先證AB⊥面ACD，在其展成的平面圖形中A₁B⊥A₁D，A₂B⊥A₂C，從而AB⊥AC，AB⊥AD，可得線面垂直，即可得線線垂直．
（2）要求四面體ABCD的體積，先確定其底面和高線，然后分別求其值，利用三棱錐的體積公式，即可得其體積．

解答：解：
（I）證明：由圖2，A₁A₂A₃D為直角梯形，
得A₁B⊥A₁D，A₂B⊥A₂C．
即圖1中，AB⊥AC，AB⊥AD．
又AC∩AD=A，∴AB⊥面ACD．
∵CD?面ACD，∴AB⊥CD．
（II）在圖2中，作DE⊥A₂A₃于E，
∵A₁A₂=8，∴DE=8，
又∵A₁D=A₃D=10，∴EA₃=6，∴A₂A₃=10+6=16．
而A₂C=A₃C，∴A₂C=8，即圖1中AC=8，AD=10．
由A₁A₂=8，A₁B=A₂B，得圖1中AB=4．
S△ACD=S△A3CD=

1

2

×8×8=32．
由（I）知，AB⊥面ACD，∴VB-ACD=

1

3

×32×4=

128

3

．

點評：本小題主要考查空間線面關系、幾何體的體積等知識，考查數形結合、化歸與轉化的數學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力，注意輔助線的作法，是個中檔題．