Question

2．設(shè)函數(shù)f（x）=x²+（x-1）|x-a|+3（a∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（2）若對(duì)?x∈R，不等式f（x）≥2x恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）分x≥a和x＜a對(duì)函數(shù)分段，然后由f（x）在R上單調(diào)遞增得到不等式組，求解不等式組得到實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）寫出分段函數(shù)g（x），不等式f（x）≥2x對(duì)一切實(shí)數(shù)x∈R恒成立，等價(jià)于不等式g（x）≥0對(duì)一切實(shí)數(shù)x∈R恒成立，然后求出函數(shù)在不同區(qū)間段內(nèi)的最小值，求解不等式得答案．

解答 解：（1）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2x}^{2}-（a+1）x+a+3，x≥a}\\{（a+1）x-a+3，x＜a}\end{array}\right.$，
若f（x）在R上單調(diào)遞增，
則有 $\left\{\begin{array}{l}{\frac{a+1}{4}≤a}\\{a+1＞0}\end{array}\right.$，解得：a≥$\frac{1}{3}$；
（2）設(shè)g（x）=f（x）-2x，
則g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2x}^{2}-（a+3）x+a+3，x≥a}\\{（a-1）x-a+3，x＜a}\end{array}\right.$，
即不等式g（x）≥0對(duì)一切實(shí)數(shù)x∈R恒成立，
a＜1時(shí)，當(dāng)x＜a時(shí)，g（x）單調(diào)遞減，其值域?yàn)椋海╝²-2a+3，+∞），
∵a²-2a+3=（a-1）²+2≥2，∴g（x）≥0恒成立，
當(dāng)x≥a時(shí)，∵a＜1，∴a＜$\frac{a+3}{4}$，
∴g（x）_min=g（ $\frac{a+3}{4}$）=a+3-$\frac{{（a+3）}^{2}}{8}$≥0，
得-3≤a≤5
∵a＜1，∴-3≤a＜1，
a=1時(shí)，g（x）≥2，成立，
a＞1時(shí)，x＜a時(shí)，g（x）遞增，其值域是：（-∞，a²-2a+3），顯然不成立，
 綜上：-3≤a≤1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)恒成立問題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，考查了不等式的解法，是中檔題．