Question

【題目】已知函數．

（1）求的單調區間；

（2）當時，恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）函數在上單調遞減，在上單調遞增；（2）.

【解析】

（1）先求函數的導數，利用導函數的正負情況，得到原函數的單調區間.（2）構造函數 ，求得導數，對分成三類，結合的單調區間，根據列不等式，解不等式求得的取值范圍.

解：（1） ，

令，解得，

當，，則函數在上單調遞減；

當，，則函數在上單調遞增.

（2）令 ，根據題意，

當時，恒成立.

.

①當，時，恒成立，

所以在上是增函數，且，所以不符合題意；

②當，時，恒成立，

所以在上是增函數，且，所以不符合題意；

③當時，因為，所以恒有，故在上是減函數，于是“對任意都成立”的充要條件是，

即，解得，故.

綜上，的取值范圍是.