Question

11．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），過點(diǎn)（1，$\frac{3}{2}$），且離心率為$\frac{1}{2}$．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過橢圓C上異于其頂點(diǎn)的任一點(diǎn)P，作⊙O：x²+y²=3的兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N，且直線MN在x軸，y軸上截距分別為m，n，證明：$\frac{1}{4{m}^{2}}$+$\frac{1}{3{n}^{2}}$為定值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4{b}^{2}}$=1，$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a²=b²+c²，聯(lián)立解得a，b，即可得出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）設(shè)P（x₀，y₀），$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}$+$\frac{{y}_{0}^{2}}{3}$=1．則以O(shè)P為直徑的圓的方程為：x²-xx₀+y²-yy₀=0．與⊙O：x²+y²=3相減可得直線MN的方程：x₀x+y₀y=3．進(jìn)而得出．

解答 （1）解：由題意可得：$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4{b}^{2}}$=1，$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a²=b²+c²，
聯(lián)立解得a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1．
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）證明：設(shè)P（x₀，y₀），$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}$+$\frac{{y}_{0}^{2}}{3}$=1．
則以O(shè)P為直徑的圓的方程為：$（x-\frac{{x}_{0}}{2}）^{2}$+$（y-\frac{{y}_{0}}{2}）^{2}$=$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}+\frac{{y}_{0}^{2}}{4}$．
即x²-xx₀+y²-yy₀=0．與⊙O：x²+y²=3相減可得直線MN的方程：x₀x+y₀y=3．
與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)$（\frac{3}{{x}_{0}}，0）$，$（0，\frac{3}{{y}_{0}}）$，
∴m=$\frac{3}{{x}_{0}}$，n=$\frac{3}{{y}_{0}}$．
∴$\frac{1}{4{m}^{2}}$+$\frac{1}{3{n}^{2}}$=$\frac{1}{4×\frac{9}{{x}_{0}^{2}}}$+$\frac{1}{3×\frac{9}{{y}_{0}^{2}}}$=$\frac{1}{9}（\frac{{x}_{0}^{2}}{4}+\frac{{y}_{0}^{2}}{3}）$=$\frac{1}{9}$為定值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、圓的切線方程、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．