Question

2．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為DD₁的中點，且AB=2，
（ 1 ）求證：BD₁∥面AEC；
（2）求三棱錐C-ADE的體積．

Answer 1

分析 （1）連結AC，BD，交于點O，連結OE，推導出OE∥BD₁，由此能證明BD₁∥面AEC．
（2）三棱錐C-ADE的體積V_C-ADE=V_E-ADC=$\frac{1}{3}×{S}_{△ADC}×DE$，由此能求出結果．

解答 證明：（1）連結AC，BD，交于點O，連結OE，
∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，ABCD是正方形，
∴O是BD的中點，∵E為DD₁的中點，∴OE∥BD₁，
∵BD₁?面AEC，OE?面AEC，
∴BD₁∥面AEC．
解：（2）∵在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為DD₁的中點，且AB=2，
∴三棱錐C-ADE的體積：
V_C-ADE=V_E-ADC=$\frac{1}{3}×{S}_{△ADC}×DE$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×AD×DC×DE$=$\frac{1}{6}×2×2×1$=$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查線與平面垂直的證明，考查三棱錐體積的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．