Question

過橢圓

x2

5

+

y2

4

=1的左焦點F作橢圓的弦AB．如圖
（1）求此橢圓的左焦點F的坐標和橢圓的準線方程（x=±

a2

c

）；
（2）求弦AB中點M的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）由方程知 a=

5

，b=2，從而求得焦點坐標和離心率的值．
（2）由

y=k(x+1) x2 5 + y2 4 = 1

 消y得：（4+5k²）x²+10k² x+5k-20=0，故 x₁+x₂=

-10k2

4+5k2

，再由中點公式得x=

-5k2

4+5k2

，又由  y=k（x+1）可得  4x²+4x+5y²=0，即為所求．

解答：解：（1）由方程知 a=

5

，b=2，故左焦點F（-1，0），
離心率 e=

c

a

=

5

5

．
（2）設M（x，y），A（ x₁，y₁ ），B（x₂，y₂ ），直線AB方程為 y=k（x+1），
由

y=k(x+1) x2 5 + y2 4 = 1

 消y得：（4+5k²）x²+10k² x+5k-20=0，
∴x₁+x₂=

-10k2

4+5k2

，因為M是AB中點，有 x=

x1+x2

2

，
∴x=

-5k2

4+5k2

，∴k²=

-4x

5(x+1)

，
又由  y=k（x+1）可得  y²=k²（x+1）²，∴y²=

-4x

5(x+1)

 （x+1）²，
∴5y²=-4x（x+1），即 4x²+4x+5y²=0，即 4(x+

1

2

)2+5y²=1，
當直線AB的斜率k不存在時，AB⊥x軸，AB中點M 的坐標為（-1，0），也適合上述方程，
故  4(x+

1

2

)2+5y²=1 為所求．

點評：本題考查點軌跡方程的求法，橢圓的簡單性質的應用，體現了分類討論的數學思想，得到 y²=

-4x

5(x+1)

 （x+1）²，是解題的關鍵．