Question

3．如圖，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，PD⊥面ABCD，QC⊥面ABCD，且AB=AD=PD=QC=$\frac{1}{2}$CD，
（1）設直線QB與平面PDB所成角為θ，求sinθ的值；
（2）設M為AD的中點，在PD邊上求一點N，使得MN∥面PBC，求$\frac{DN}{NP}$的值．

Answer 1

分析 （1）由題意，分別以DA、DC、DP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系如圖，設CD=2，求得D，P，B，Q的坐標，求出$\overrightarrow{BQ}$及平面PDB的一個法向量由$\overrightarrow{BQ}$與平面法向量所成角的余弦值的絕對值可得sinθ的值；
（2）求出M的坐標，設N（0，0，y），且$\frac{DN}{NP}$=λ（λ≥0），則由$\overrightarrow{DN}=λ\overrightarrow{NP}$，得y=$\frac{λ}{1+λ}$．可得N的坐標，再求出平面PBC的一個法向量，由$\overrightarrow{MN}$與平面PBC的法向量的數量積為0求得λ值．

解答 解：（1）∵PD⊥面ABCD，∴PD⊥AD，PD⊥DC，
又ABCD為直角梯形，且AB⊥AD，AB∥CD，∴AD⊥DC，
分別以DA、DC、DP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系如圖，
∵AB=AD=PD=QC=$\frac{1}{2}$CD，設CD=2，
則D（0，0，0），P（0，0，1），B（1，1，0），Q（0，2，1），
$\overrightarrow{BQ}=（-1，1，1）$，$\overrightarrow{DP}=（0，0，1）$，$\overrightarrow{DB}=（1，1，0）$．
設平面PDB的一個法向量為$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DP}=z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DB}=x+y=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{m}=（-1，1，0）$．
∴sinθ=|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{BQ}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BQ}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{BQ}|}$|=$\frac{2}{\sqrt{2}×\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$；
（2）∵M為AD的中點，∴M（$\frac{1}{2}$，0，0），設N（0，0，y），且$\frac{DN}{NP}$=λ（λ≥0），
則由$\overrightarrow{DN}=λ\overrightarrow{NP}$，得（0，0，y）=（0，0，λ-λy），∴y=$\frac{λ}{1+λ}$．
∴N（0，0，$\frac{λ}{1+λ}$），則$\overrightarrow{MN}=（-\frac{1}{2}，0，\frac{λ}{1+λ}）$，
設平面PBC的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=-x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=x+y-z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}=（1，1，2）$，
由MN∥面PBC，得$\overrightarrow{MN}•$$\overrightarrow{n}=-\frac{1}{2}+\frac{2λ}{1+λ}=0$，解得$λ=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{DN}{NP}$=$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查線面角，考查了直線與平面平行的判定，訓練了利用空間向量求線面角，是中檔題．