Question

【題目】已知橢圓的長軸長是短軸長的兩倍，焦距為．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）不過原點的直線與橢圓交于兩點、，且直線、、的斜率依次成等比數列，問：直線是否定向的，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）不定向，理由見解析.

【解析】

（1）由橢圓的長軸長是短軸長的兩倍，焦距為，列出方程組能求出橢圓的標準方程；

（2）由題意設直線的方程為，聯立直線與橢圓的標準方程，由此利用根的判別式、韋達定理、等比數列、橢圓性質，結合已知條件能求出直線的方向向量，由此能說明直線不定向.

（1）設橢圓的焦距為，由已知得，解得，，

橢圓的標準方程為；

（2）由題意可設直線的方程為，

聯立，消去并整理，得，

計算，此時設、，

則，，

于是，

又直線、、的斜率依次成等比數列，，整理得，，即，，，解得，

則直線的方向向量為，即直線是不定向的.