【題目】如圖，在直三棱柱
中，底面△
是等腰直角三角形，
，
為側棱
的中點．
（1）求證：
平面
；
（2）求異面直線
與
所成角的大小（結果用反三角函數值表示）．
【答案】（1）證明見解析（2）
【解析】
（1）根據等腰直角三角形的性質得到
，根據直棱柱的幾何性質證得
，由此證得
平面
.
（2）首先通過平移作出異面直線
與
所成的角（或其補角）.解法一，通過解直角三角形求得異面直線與所成的角的正切值，由此求得異面直線與所成的角的大小.解法二，利用余弦定理解三角形，求得異面直線與所成的角的余弦值，由此求得異面直線與所成的角的大小.
（1）因為底面△
是等腰直角三角形，且
，所以，，
因為
平面，所以，
又
，
所以，平面．
（2）取
點
，連結
、
，則∥
所以，
就是異面直線與所成角（或其補角）．
解法一：由已知，
，
，所以
平面，所以△
是直角三角形，且
，
因為
，
，所以，
，
所以，異面直線與
所成角的大小為
．
解法二：在△中，
，，，
由余弦定理得，
．
所以，異面直線與所成角的大小為．
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，有一塊平行四邊形綠地
，經測量
百米，
百米，
，擬過線段
上一點
設計一條直路
（點
在四邊形
的邊上，不計路的寬度），
將綠地分成兩部分，且右邊面積是左邊面積的3倍，設
百米，
百米．
（1）當點
與點
重合時，試確定點
的位置；
（2）試求
的值，使路
的長度
最短．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知各項均為正數的數列{an}的前n項和Sn滿足S1>1，且
(nN*)．
(1)求{an}的通項公式；
(2)設數列
滿足
，Tn為數列{bn}的前n項和，求Tn；
(3)設
*(
為正整數)，問是否存在正整數
，使得當任意正整數n>N時恒有Cn>2015成立？若存在，請求出正整數的取值范圍；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，
為坐標原點，C、D兩點的坐標為
,曲線
上的動點P滿足
.又曲線上的點A、B滿足
.
（1）求曲線的方程；
（2）若點A在第一象限，且
，求點A的坐標；
（3）求證：原點到直線AB的距離為定值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】關于函數
，給出以下四個命題：（1）當
時，
單調遞減且沒有最值；（2）方程
一定有實數解；（3）如果方程
（
為常數）有解，則解得個數一定是偶數；（4）是偶函數且有最小值.其中假命題的序號是____________.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設數列 
的前
項和為
，對一切
，點
都在函數
的圖象上.
（1）求
，歸納數列的通項公式（不必證明）；
（2）將數列依次按1項、2項、3項、4項循環地分為
，
，
， 
；
，
，
，
；
，…，分別計算各個括號內各數之和，設由這些和按原來括號的前后順序構成的數列為
，求
的值；
（3）設
為數列
的前項積，若不等式
對一切都成立，其中
，求
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】教材曾有介紹：圓
上的點
處的切線方程為
。我們將其結論推廣：橢圓
上的點處的切線方程為
，在解本題時可以直接應用。已知，直線
與橢圓
有且只有一個公共點.
（1）求
的值；
（2）設
為坐標原點，過橢圓
上的兩點
、
分別作該橢圓的兩條切線
、
，且與交于點
。當
變化時，求
面積的最大值；
（3）在（2）的條件下，經過點作直線
與該橢圓交于
、
兩點，在線段
上存在點
，使
成立，試問：點是否在直線
上，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的右焦點與短軸兩端點構成一個面積為2的等腰直角三角形，
為坐標原點．
（1）求橢圓
的方程；
（2）設點
在橢圓上，點
在直線
上，且
，求證：
為定值；
（3）設點
在橢圓上運動，
，且點到直線
的距離為常數
，求動點
的軌跡方程．
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