Question

4．已知函數f（x）=e^x（ax²+bx+c）的導函數y=f′（x）的兩個零點為-3和0．（其中e=2.71828…）
（Ⅰ）當a＞0時，求f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若f（x）的極小值為-e³，求f（x）在區間[-5，1]上的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f′（x）=e^x[ax²+（2a+b）x+b+c]，推導出ax²+（2a+b）x+b+c=0的兩根為-3和0，從而得到b=-c，a=-c，由此能求出f（x）的單調區間．
（Ⅱ）由f（x）=ae^x（x²+x-1），當a＞0時，由f（0）=-e³，解得c=-e³，a=e³；當a＜0時，由f（-3）=-e³，得a=-$\frac{{e}^{4}}{5}$，由此能求出f（x）在區間[-5，1]上的最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵函數f（x）=e^x（ax²+bx+c），
∴f′（x）=e^x[ax²+（2a+b）x+b+c]，
∵導函數y=f′（x）的兩個零點為-3和0，
∴ax²+（2a+b）x+b+c=0的兩根為-3和0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b+c=0}\\{\frac{2a+b}{a}=3}\end{array}\right.$，即b=-c，a=-c，
f′（x）=e^x（ax²+3ax），a＞0，
令f′（x）＞0，解得x＞0或x＜-3；令f′（x）＜0，解得-3＜x＜0，
∴f（x）的單調遞增區間為（-∞，-3），（0，+∞），單調遞減區間為（-3，0）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=ae^x（x²+x-1），
當a＞0時，由（Ⅰ）知f（0）=-e³，解得c=-e³，a=e³，
在區間[-5，1]上，f（-3）=5，f（1）=e⁴，
∴f（x）_max=e⁴．
當a＜0時，f（-3）=-e³，解得a=-$\frac{{e}^{4}}{5}$，
在區間[-5，1]上，f（0）=$\frac{{e}^{4}}{5}$，f（-5）=-$\frac{19}{5}c$，
∴f（x）_max=$\frac{{e}^{4}}{5}$，
綜上所述，當a＞0時，f（x）_max=e⁴，
當a＜0時，$f（x）_{max}=\frac{{e}^{4}}{5}$．

點評 本題考查函數的單調區間的求法，考查函數在閉區間上的最大值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意導數性質的合理運用．