Question

設f（x）的定義域為，且，f（x）為奇函數，當時，f（x）=3^x．
（1）求；
（2）當時，求f（x）的表達式；
（3）是否存在這樣的正整數k，使得當時，關于x的不等式有解？

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ） 由，可得f（x）的周期為T=2，從而得到．
（Ⅱ）當時，可得 ，f（2k+1-x）=3^2k+1-x．再由已知條件求得f（x）的解析式．
（Ⅲ）假設存在這樣的正整數k，問題等價于 x²-（k+1）x+1＜0有解，故△=k²+2k-3=（k-1）（k+3）＞0，分k=1和k＞1兩種情況進行研究，可得不存這樣的正整數k．
解答：解：（Ⅰ）∵，∴，∴f（x）的周期為T=2．…（2分）
故 ．…（5分）
（Ⅱ）當時，有 ，∴，∴f（2k+1-x）=3^2k+1-x．
又∵，∴f（x）=3^x-2k-1（k∈Z）．…（10分）
（Ⅲ）假設存在這樣的正整數k，由（Ⅱ）得，等價于x-2k-1＞x²-kx-2k，
即x²-（k+1）x+1＜0有解，∵△=k²+2k-3=（k-1）（k+3）＞0．
①若k=1時，則△=0，x²-（k+1）x+1＜0無解．
②若k＞1且k∈Z時，x²-（k+1）x+1＜0的解為 ，∴x∈∅．
故不存這樣的正整數k．…（14分）
點評：本題主要考查函數的周期性、求函數的值、對數不等式和一元二次不等式的解法，屬于中檔題．