Question

設f（x）的定義域為D，若f（x）滿足下面兩個條件，則稱f（x）為閉函數，[a，b]為函數f（x）的閉區間．①f（x）在D內是單調函數；②存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域為[a，b]．
（1）寫出f（x）=x³的一個閉區間；
（2）若f（x）=

1

3

x³-k為閉函數求k取值范圍？

Answer 1

分析：（1）根據閉函數的定義，結合x³=x有三個解-1，0，1，可寫出使函數f（x）=x³為閉函數的區間；
（2）根據閉函數的定義，結合f（x）=

1

3

x³-k的單調性，可得f（x）=

1

3

x³-k為閉函數時f（x）=

1

3

x³-k=x至少有兩個不等的根，進而可得k取值范圍

解答：解：（1）[0，1]，[-1，1]，[-1，0]（不必加以說明寫出即可）----（4分）
（2）∵f（x）=

1

3

x³-k
∴f′（x）=x²，
∵f′（x）≥0恒成立
故f（x）=

1

3

x³-k在定義域R上為增函數----（5分）
若f（x）=

1

3

x³-k為閉函數
則f（x）=

1

3

x³-k=x 有至少兩個不同的解----（6分）
即k=

1

3

x³-x有至少兩個不同的解
令g（x）=

1

3

x³-x
則g′（x）=x²-1
令g′（x）=0，則x=±1
∵g（-1）=

2

3

，g（1）=-

2

3

即函數g（x）=

1

3

x³-x的極大值為

2

3

，極小值為-

2

3

故k∈[-

2

3

，

2

3

]------------（10分）

點評：本題以新定義為載體考查了函數的單調性及判斷，方程根的個數問題，正確理解新定義是解答的關鍵．