Question

18、設(shè)F（x）的定義域?yàn)镽，且滿(mǎn)足F（ab）=F（a）F（b），其中F（2）=8．定義在R上的函數(shù)f（x）滿(mǎn)足下述條件：①f（x）是奇函數(shù)；②f（x+2）是偶函數(shù)；③在[-2，2]上，f（x）=F（x）
（1）設(shè)G（x）=f（x+4），判斷G（x）的奇偶性并證明；（2）解關(guān)于x的不等式：f（x）≤1．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)f（x）是奇函數(shù)，f（x+2）是偶函數(shù)建立關(guān)系式，然后利用函數(shù)奇偶性的定義判定G（x）的奇偶性即可；
（2）先根據(jù)條件求出F（1），然后根據(jù)單調(diào)性求出一個(gè)周期內(nèi)滿(mǎn)足f（x）≤1的x的范圍，再求出函數(shù)的周期，即可求出所求．

解答：解：（1）∵f（x）是奇函數(shù)，f（x+2）是偶函數(shù)
∴f（-x）=-f（x），f（-x+2）=f（x+2）
∴f（x+4）=f（-x）=-f（x），f（-x+4）=f（x）即f（-x+4）=-f（x+4）
即G（-x）=-G（x）
∴G（x）是奇函數(shù)
（2）∵f（x）是奇函數(shù)
∴f（0）=0=F（0）
∵F（1×2）=F（1）F（2），F(xiàn)（2）=8
∴F（1）=1=f（1）
而f（x+4）=f（-x）=-f（x），則f（x+8）=f（x），函數(shù)的周期為8
f（x）在[-2，2]上單調(diào)遞增，則f（x）≤1=f（1）
∴-5≤x≤1，而函數(shù)的周期為8
∴f（x）≤1的解集為[-5+8k，1+8k]（k∈Z）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了抽象函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性以及不等式的求解，是一道綜合題，屬于中檔題．