Question

6．已知函數(shù)f（x）=me^x-lnx-1．
（1）當(dāng)m=1，x∈[1，+∞）時(shí)，求y=f（x）的值域；
（2）當(dāng)m≥1時(shí)，證明：f（x）＞1．

Answer 1

分析 （1）求得m=1時(shí)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）的值域即可；
（2）：運(yùn)用分析法證明，當(dāng)m≥1時(shí)，f（x）=me^x-lnx-1≥e^x-lnx-1．要證明f（x）＞1，只需證明e^x-lnx-2＞0，
思路1：設(shè)g（x）=e^x-lnx-2，求得導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，可得最小值，證明大于0即可；
思路2：先證明e^x≥x+1（x∈R），設(shè)h（x）=e^x-x-1，求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得最小值大于0；證明x-lnx-1≥0．設(shè)p（x）=x-lnx-1，求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得最小值大于0，即可得證．

解答 解：（1）m=1時(shí)，f（x）=e^x-lnx-1，f′（x）=e^x-$\frac{1}{x}$，
故f′（x）＞0在x∈[1，+∞）恒成立，
故f（x）在[1，+∞）遞增，f（x）的最小值是f（1）=e-1，
故f（x）在值域是[e-1，+∞）；
（2）當(dāng)m≥1時(shí)，f（x）=me^x-lnx-1≥e^x-lnx-1．
要證明f（x）＞1，只需證明e^x-lnx-2＞0．
以下給出三種思路證明e^x-lnx-2＞0．
思路1：設(shè)g（x）=e^x-lnx-2，則g′（x）=e^x-$\frac{1}{x}$．
設(shè)h（x）=e^x-$\frac{1}{x}$，則h′（x）=e^x+$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，
所以函數(shù)h（x）=g′（x）=e^x-$\frac{1}{x}$在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
因?yàn)間′（$\frac{1}{2}$）=${e}^{\frac{1}{2}}$-2＜0，g'（1）=e-1＞0，
所以函數(shù)g′（x）在（0，+∞）上有唯一零點(diǎn)x₀，且x₀∈（$\frac{1}{2}$，1）．
因?yàn)間'（x₀）=0時(shí)，所以${e}^{{x}_{0}}$=$\frac{1}{{x}_{0}}$，即lnx₀=-x₀．
當(dāng)x∈（0，x₀）時(shí)，g'（x）＜0；當(dāng)x∈（x₀，+∞）時(shí)，g'（x）＞0．
所以當(dāng)x=x₀時(shí)，g（x）取得最小值g（x₀）．
故g（x）≥g（x₀）=${e}^{{x}_{0}}$-lnx₀-2=$\frac{1}{{x}_{0}}$+x₀-2＞0．
綜上可知，當(dāng)m≥1時(shí)，f（x）＞1．
思路2：先證明e^x≥x+1（x∈R）．
設(shè)h（x）=e^x-x-1，則h'（x）=e^x-1．
因?yàn)楫?dāng)x＜0時(shí)，h'（x）＜0，當(dāng)x＞0時(shí)，h'（x）＞0，
所以當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)h（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)h（x）單調(diào)遞增．
所以h（x）≥h（0）=0．
所以e^x≥x+1（當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào)）．
所以要證明e^x-lnx-2＞0，
只需證明（x+1）-lnx-2＞0．
下面證明x-lnx-1≥0．
設(shè)p（x）=x-lnx-1，則p′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$．
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，p'（x）＜0，當(dāng)x＞1時(shí)，p'（x）＞0，
所以當(dāng)0＜x＜1時(shí)，函數(shù)p（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x＞1時(shí)，函數(shù)p（x）單調(diào)遞增．
所以p（x）≥p（1）=0．
所以x-lnx-1≥0（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)）．
由于取等號(hào)的條件不同，
所以e^x-lnx-2＞0．
綜上可知，當(dāng)m≥1時(shí)，f（x）＞1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查不等式的證明，注意運(yùn)用不等式的傳遞性和構(gòu)造函數(shù)法，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于難題．