Question

2．根據市場調查，某商品在最近的40天內的價格f（t）與時間t滿足關系f（t）=$\left\{\begin{array}{l}{t+20，0≤t＜20，t∈N}\\{-t+42，20≤t≤40，t∈N}\end{array}\right.$，銷售量g（t）與時間t滿足關系g（t）=-t+50（0≤t≤40，t∈N），設商品的日銷售額為F（t）（銷售量與價格之積）．求：
（1）商品的日銷售額F（t）的解析式；
（2）商品的日銷售額F（t）的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據題設條件，由商品的日銷售額F（t）=f（t）g（t），能夠求出F（t）的解析式．
（2）當0≤t＜20，t∈N時，F（t）=-t²+30t+100=-（t-15）²+1225．當t=15時，F（t）_max=1225；當20≤t≤40，t∈N時，F（t）=t²-92t+2100=（t-46）²-16，當t=20時，F（t）_max=660．由此能求出商品的日銷售額F（t）的最大值．

解答 解：（1）據題意，商品的日銷售額F（t）=f（t）g（t），
得F（t）=$\left\{\begin{array}{l}{（t+20）（-t+50），0≤t＜20，t∈N}\\{（-t+42）（-t+50），20≤t≤40，t∈N}\end{array}\right.$，
即F（t）=$\left\{\begin{array}{l}{-{t}^{2}+30t+1000，0≤t＜20，t∈N}\\{{t}^{2}-92t+2100，20≤t≤40，t∈N}\end{array}\right.$．
（2）當0≤t＜20，t∈N時，
F（t）=-t²+30t+1000=-（t-15）²+1225，
∴當t=15時，F（t）_max=1225；
當20≤t≤40，t∈N時，
F（t）=t²-92t+2100=（t-46）²-16，
∴當t=20時，F（t）_max=660
綜上所述，當t=15時，日銷售額F（t）最大，且最大值為1225．

點評 本題考查函數在生產實際中的應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．綜合性強，是高考的重點，易錯點是知識體系不牢固．解題時要注意配方法的靈活運用．