Question

11．已知{a_n}是等差數列，{b_n}是正項的等比數列，且a₁=b₁=2，a₅=14，b₃=a₃．
（Ⅰ）求{a_n}、{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數列{a_n}中滿足b₄＜a_n＜b₆的各項的和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設等差數列{a_n}的公差為d，等比數列{b_n}的公比為q，依題意，可求得d與q，從而可求得{a_n}、{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）b₄＜a_n＜b₆，即2⁴＜3n-1＜2⁶，可求得n=6，7，8，…，21，于是滿足b₄＜a_n＜b₆的各項的和為a₆+a₇+…+a₂₁=S₂₁-S₅=，利用等差數列的求和公式可得答案．

解答 （本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）設等差數列{a_n}的公差為d．
因為a₁=2，a₅=14，
所以a₁+4d=14．
所以d=3．
所以a_n=3n-1．
所以b₃=a₃=8．
因為b₁=2，
因為${b_3}={b_1}{q^2}$，
所以q²=4．
因為b_n＞0，
所以q=2．
所以${b_n}=2•{2^{n-1}}={2^n}$．…（6分）
（Ⅱ）因為b₄＜a_n＜b₆，即2⁴＜3n-1＜2⁶，
所以$\frac{17}{3}＜n＜\frac{65}{3}$，n∈N^*．
即n=6，7，8，…，21．
所以滿足b₄＜a_n＜b₆的各項的和為a₆+a₇+…+a₂₁=S₂₁-S₅=$\frac{{21（{a_1}+{a_{21}}）}}{2}-\frac{{5（{a_1}+{a_5}）}}{2}$=$\frac{21（2+62）}{2}-\frac{5（2+14）}{2}$=632．…（13分）

點評 本題考查數列的求和，考查等差數列與等比數列的通項公式的應用，考查等差數列的求和的運用，屬于中檔題．