Question

2．已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且2，a_n，S_n成等差數列．
（1）證明：數列{a_n}是等比數列；
（2）若b_n=a_n+log₂$\frac{1}{a_n}$，T_n是數列{b_n}的前n項和，求T_n．

Answer 1

分析 （1）由2，a_n，S_n成等差數列．可得2a_n=S_n+2．利用遞推關系可得：a_n=2a_n-1．即可得出．
（2）由（1）可得：a_n=2ⁿ．可得b_n=a_n+log₂$\frac{1}{a_n}$=2ⁿ-n，再利用等比數列與等差數列的求和公式即可得出．

解答 （1）證明：∵2，a_n，S_n成等差數列．∴2a_n=S_n+2．
n=1時，2a₁=a₁+2，解得a₁=2．
n≥2時，2a_n-1=S_n-1+2．
可得2a_n-2a_n-1=a_n，即a_n=2a_n-1．
∴數列{a_n}是等比數列，公比為2，首項為2．
（2）解：由（1）可得：a_n=2ⁿ．
∴b_n=a_n+log₂$\frac{1}{a_n}$=2ⁿ-n，
∴數列{b_n}的前n項和T_n=（2+2²+…+2ⁿ）-（1+2+…+n）
=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-$\frac{n（n+1）}{2}$
=2ⁿ⁺¹-2-$\frac{n（n+1）}{2}$．

點評 本題考查了等差數列與等比數列的通項公式與求和公式、數列遞推關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．