Question

設Q是直線y=-1上的一個動點，O為坐標原點，過Q作x軸的垂線l，過O作直線OQ的垂線交直線l于點P．
（1）求點P的軌跡C的方程；
（2）過點A（-

2

，2）作圓B：x²+（y-2）²=1的兩條切線交曲線C于M，N兩點，試證明直線MN與圓B相切．

Answer 1

考點：直線與圓的位置關系

專題：直線與圓

分析：（1）設P（x，y），則Q（x，-1），由OP⊥OQ得

y

x

•

-1

x

=-1，由此能得到P點的軌跡C的方程．
（2）由條件根據直線和圓相切的性質求得AM的斜率為1，故AN的斜率為-1，把AM的方程和拋物線x²=y的方程聯立方程組，求得點M的坐標，同理求得N的坐標，可得直線MN的方程，再根據圓心B（0，2）到直線MN的距離正好等于半徑，可得直線MN與圓B相切．

解答： （1）解：設P（x，y），則Q（x，-1），由OP⊥OQ，可得

y

x

•

-1

x

=-1，由此能得到P點的軌跡C的方程為x²=y．
（2）證明：由題意可得點B（0，2），AB=

2

，設AM和圓B相切于點D，AN和圓B相切于點E，由于BD=1，AB和x軸平行，
∴△ABD為等腰直角三角形，故AM的斜率為1，故AN的斜率為-1．
設AM的直線方程為y-2=k（x+

2

），由

x2=y y-2=k(x+2)

，求得

x=1+ 2 y=3+2 2

，∴M（1+

2

，3+2

2

）．
同理求得N（

2

-1，3-2

2

），故直線MN的方程為

y-3+2 2

4 2

=

x- 2 +1

2

，即2

2

x-y-1=0．
由于圓心B（0，2）到直線MN的距離為

|0-2-1|

8+1

=1，正好等于圓B的半徑，
把AM的方程和圓B的方程連立方程組
由此知直線MN與圓B相切．

點評：本題主要考查直線和圓相切的性質，點到直線的距離公式的應用，體現了轉化的數學思想，屬于基礎題．