Question

．已知圓：x2＋y2－2x－2y－2＝0.

（1）若直線平分圓的周長，求原點O到直線的距離的最大值；

（2）若圓平分圓的周長，圓心在直線y＝2x上，求符合條件且半徑最小的圓B的方程．

Answer 1

（1）；（2）（x－）2＋（y－）2＝

【解析】

試題分析：將圓的方程化為標準方程，圓心為，半徑為

（1）直線平分圓的周長即圓的圓心在直線上，得到之間的關系：，同時利用點到直線的距離公式，得到原點到直線的距離，根據二次函數的圖像，解得當時，的最大值為；（2）圓平分圓的周長,則兩圓的交點弦一定通過圓的圓心點，設，由垂徑定理并結合圖形得到圓的半徑取得最小時，,進而得到半徑最小時圓的方程.

試題解析：（1）圓的方程即，其圓心為，半徑為.

由題意知直線經過圓心A（1,1），所以a＋b－4＝0，得b＝4－a.

原點到直線的距離d＝.

因為a2＋b2＝a2＋（4－a）2＝2（a－2）2＋8，所以當a＝2時，a2＋b2取得最小值8.

故d的最大值為＝.

（2）由題意知圓與圓A的相交弦為圓的一條直徑，它經過圓心.

設圓的圓心為，半徑為R.如圖所示，在圓中，

由垂徑定理并結合圖形可得：R2＝22＋|AB|2＝4＋（a－1）2＋（2a－1）2＝5（a－）2＋.

所以當a＝時，R2取得最小值.

故符合條件且半徑最小的圓的方程為（x－）2＋（y－）2＝.

考點：1.圓的標準方程；2.二次函數的最值；3.垂徑定理.