Question

14．已知直線y=kx+2與雙曲線x²-y²=6的左支交于不同的兩點，則k的取值范圍是$1＜k＜\frac{{\sqrt{15}}}{3}$．

Answer 1

分析 根據直線y=kx+2與雙曲線x²-y²=6的左支交于不同的兩點，可得直線與雙曲線聯立方程有兩個不等的負根，進而構造關于k的不等式組，解不等式可得答案．

解答 解：聯立直線y=kx+2與雙曲線x²-y²=6得（1-k²）x²-4kx-10=0…①
若直線y=kx+2與雙曲線x²-y²=6的左支交于不同的兩點，
則方程①有兩個不等的負根
∴$\left\{\begin{array}{l}{16{k}^{2}+40（1-{k}^{2}）＞0}\\{\frac{-10}{1-{k}^{2}}＞0}\\{\frac{4k}{1-{k}^{2}}＜0}\end{array}\right.$
解得：$1＜k＜\frac{{\sqrt{15}}}{3}$；
故答案為：$1＜k＜\frac{{\sqrt{15}}}{3}$．

點評 本題考查的知識點是雙曲線的簡單性質，其中分析出題目的含義是直線與雙曲線聯立方程有兩個不等的負根，是解答的關鍵．