Question

6．一緝私艇巡航至距領海邊界線l（一條南北方向的直線）3.8海里的A處，發現在其北偏東30°方向相距4海里的B處有一走私船正欲逃跑，緝私艇立即追擊，已知緝私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍，假設緝私艇和走私船均按直線方向以最大航速航行．
（1）若走私船沿正東方向逃離，試確定緝私艇的追擊方向，使得用最短時間在領海內攔截成功；（參考數據：sin17°≈$\frac{\sqrt{3}}{6}$，$\sqrt{33}$≈5.7446）
（2）問：無論走私船沿何方向逃跑，緝私艇是否總能在領海內成功攔截？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）設緝私艇在C處與走私船相遇，則AC=3BC．△ABC中，由余弦定理、正弦定理即可求解；
（2）建立坐標系，求出P的軌跡方程，即可解決．

解答 解：（1）設緝私艇在C處與走私船相遇，則AC=3BC．
△ABC中，由正弦定理可得sin∠BAC=$\frac{sin120°}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
∴∠BAC=17°，
∴緝私艇應向北偏東47°方向追擊，
△ABC中，由余弦定理可得cos120°=$\frac{16+B{C}^{2}-A{C}^{2}}{8BC}$，∴BC≈1.68615．
B到邊界線l的距離為3.8-4sin30°=1.8，
∵1.68615＜1.8，
∴能最短時間在領海內攔截成功；
（2）以A為原點，建立如圖所示的坐標系，則B（2，2$\sqrt{3}$），設緝私艇在P（x，y）出與走私船相遇，則PA=3PB，

即x²+y²=9[（x-2）²+（y-2$\sqrt{3}$）²]，即（x-$\frac{9}{4}$）²+（y-$\frac{9}{4}\sqrt{3}$）²=$\frac{9}{4}$，
∴P的軌跡是以（$\frac{9}{4}$，$\frac{9}{4}\sqrt{3}$）為圓心，$\frac{3}{2}$為半徑的圓，
∵圓心到邊界線l：x=3.8的距離為1.55，大于圓的半徑，
∴無論走私船沿何方向逃跑，緝私艇總能在領海內成功攔截．

點評 本題考查利用數學知識解決實際問題，考查正弦、余弦定理的運用，考查軌跡方程，屬于中檔題．