Question

7．已知函數y=$\frac{1}{2}$x²的圖象在點（x₀，$\frac{1}{2}$x₀²）處的切線為l，若l也為函數y=lnx（0＜x＜1）的圖象的切線，則x₀必須滿足（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$＜x₀＜1
• B． 1＜x₀＜$\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{2}$＜x₀＜$\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{3}$＜x₀＜2

Answer 1

分析 求出函數y=x²的導數，y=lnx的導數，求出切線的斜率，切線的方程，可得x₀=$\frac{1}{m}$，lnm-1=-$\frac{1}{2}$x₀²，再由零點存在定理，即可得到所求范圍．

解答 解：函數y=$\frac{1}{2}$x²的導數為y′=x，
在點（x₀，$\frac{1}{2}$x₀²）處的切線的斜率為k=x₀，
切線方程為y-$\frac{1}{2}$x₀²=x₀（x-x₀），
設切線與y=lnx相切的切點為（m，lnm），0＜m＜1，
即有y=lnx的導數為y′=$\frac{1}{{x}_{0}}$，
可得x₀=$\frac{1}{m}$，切線方程為y-lnm=$\frac{1}{m}$（x-m），
令x=0，可得y=lnm-1=-$\frac{1}{2}$x₀²，
由0＜m＜1，可得x₀＜2，且x₀²＞1，
解得x₀＞1，
由m=$\frac{1}{{x}_{0}}$，可得$\frac{1}{2}$x₀²-lnx₀-1=0，
令f（x）=$\frac{1}{2}$x²-lnx-1，x＞1，
f′（x）=x-$\frac{1}{x}$＞0，f（x）在x＞1遞增，
且f（2）=1-ln2＞0，f（$\sqrt{3}$）=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$ln3-1=$\frac{1}{2}$（1-ln3）＜0，
則有$\frac{1}{2}$x₀²-lnx₀-1=0的根x₀∈（$\sqrt{3}$，2）．
故選：D．

點評 本題考查導數的運用：求切線的方程和單調區間，考查函數方程的轉化思想，以及函數零點存在定理的運用，屬于中檔題．