Question

已知方程（x²-2x+m）（x²-2x+n）=0的四個根組成一個首項為

1

4

的等差數列，則|m-n|=

 

Answer 1

分析：把方程（x²-2x+m）（x²-2x+n）=0化為x²-2x+m=0，或x²-2x+n=0，設設

1

4

是第一個方程的根，代入方程即可求得m，則方程的另一個根可求；設另一個方程的根為s，t，（s≤t）根據韋達定理可知∴s+t=2=

1

4

+

7

4

根據等差中項的性質可知四個跟成的等差數列為

1

4

，s，t，

7

4

，進而根據數列的第一項和第四項求得公差，則s和t可求，進而根據韋達定理求得n，最后代入|m-n|即可．

解答：解：方程（x²-2x+m）（x²-2x+n）=0可化為
x²-2x+m=0①，或x²-2x+n=0②，
設

1

4

是方程①的根，
則將

1

4

代入方程①，可解得m=

7

16

，
∴方程①的另一個根為

7

4

．
設方程②的另一個根為s，t，（s≤t）
則由根與系數的關系知，s+t=2，st=n，
又方程①的兩根之和也是2，
∴s+t=

1

4

+

7

4

由等差數列中的項的性質可知，
此等差數列為

1

4

，s，t，

7

4

，
公差為[

7

4

-

1

4

]÷3=

1

2

，
∴s=

3

4

，t=

5

4

，
∴n=st=

15

16

∴，|m-n|=|

7

16

-

15

16

|=

1

2

．
故答案為：

1

2

點評：本題主要考查了等差數列的性質．考查了學生創造性思維和解決問題的能力．