Question

在極坐標系中，從極點O作直線與另一直線l：ρcosθ=4相交于點M，在OM上取一點P，使

OM

•

OP

=12．
（1）求點P的軌跡方程；（2）設R為l上任意一點，試求RP的最小值．

Answer 1

分析：（1）求出直線l的普通方程，設出M的坐標，P的坐標，建立M，P兩點的坐標關系，求出向量

OM

，

OP

，通過

OM

•

OP

=12，求出點P的軌跡方程；
（2）要求RP的最小值，就是求圓心到直線的距離減去半徑即可．

解答：解：（1）直線ρcosθ=4在平面直角坐標系中對應的方程為x=4，
設M的坐標 （4，b），P點坐標為（x，y），
則

b

4

=

y

x

，b=

4y

x

，

OM

=（4，b），

OP

=（x，y），
∵

OM

•

OP

=12，4x+by=12，
所以4x+

4y

x

•y=12，x²-3x+y²=0這就是所求圓的方程，化為標準式為（x-

3

2

）²+y²=

9

4

；
（2）因為R為l上任意一點，（x-

3

2

）²+y²=

9

4

；
圓心坐標（

3

2

，0），半徑為：

3

2

；
則圓心到直線x=4的距離為：4-

3

2

=

5

2

，
圓的半徑為：

3

2

，
所以所求RP的最小值為

5

2

-

3

2

=1．

點評：本題是中檔題，考查動點的軌跡方程的求法，極坐標與直角坐標方程的轉化，兩點之間的距離，轉化為圓心到直線的距離的求法，考查計算能力，轉化思想的應用．