Question

已知函數(shù)
（1）求函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象的交點的坐標．
（2）設函數(shù)的圖象在交點處的切線l₁、l₂，分別為是否存在這樣的實數(shù)a，使得l₁⊥l₂？若存在，請求出a的值和相應交點的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）求函數(shù)f（x）在[-1，0）上最小值F（a）．

Answer 1

【答案】分析：（1）令f（x）=g（x）求出x的值，然后代入可求得坐標．
（2）對函數(shù)f（x），g（x）分別進行求導，先假設存在這樣的a，使得l₁⊥l₂，對（1）中兩個交點分別進行考慮，都應該有g'（x）f'（x）=-1，求出a的值然后代入確定A的坐標．
（3）令f'（x）=0求出x的值，然后結合函數(shù)f（x）的單調性比較f（-1）與f（）的大小進而可得到最小值．
解答：解：（i）設交點的坐標為，
解得
故函數(shù)y=f（x）與y=g（x）圖象的交點的坐標為
（ii）g'（x）=ax，f'（x）=3x²-4ax+a²，若存在a，使得l₁⊥l₂．
（1）在點處，有，
又，
則，此時點A坐標為
（2）在點A（2a，2a³）處，有g^/（2a）f^/（2a）=-1，
又g'（2a）•f'（2a）=a•（2a）•（3×4a²-8a²+a²）=10a⁴，則10a⁴=-1，無解．
綜上，存在
（iii）令，
上式整理得，圖象另一交點橫坐標
結合圖象可得：

（1）若；
（2）若，即時，
（3）若
綜上
點評：本題主要考查函數(shù)的單調性與其導函數(shù)的正負之間的關系、函數(shù)的最值．依據(jù)導數(shù)判斷函數(shù)的單調性、求函數(shù)的最值是一種很重要的方法．