Question

設函數．
（1）當時，求曲線在處的切線方程；
（2）當時，求函數的單調區間；
（3）在（2）的條件下，設函數，若對于[1，2]，[0，1]，使成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

（1）在處的切線方程為；（2）函數的單調增區間為;單調減區間為；（3）.

試題分析：（1）首先求函數的定義域，利用導數的幾何意義求得在處的切線的斜率，再利用直線的點斜式方程求得在處的切線方程；（2）分別解不等式可得函數的單調遞增區間、單調遞減區間；（3）由已知“對于[1，2]，使≥成立”在上的最小值不大于在上的最小值，先分別求函數，的最小值，最后解不等式得實數的取值范圍．
試題解析：函數的定義域為，                      1分
    　                            2分
（1）當時，，，       3分
，
，                                           4分
在處的切線方程為.                    5分
(2).                 
當,或時, ;                             6分
當時, .                                        7分
當時，函數的單調增區間為;單調減區間為.   8分
(如果把單調減區間寫為,該步驟不得分)
（3）當時，由（2）可知函數在上為增函數，
∴函數在[1，2]上的最小值為                9分
若對于[1，2]，使≥成立在上的最小值不大于在[1，2]上的最小值（*）                        10分
又，
當時，在上為增函數，
與（*）矛盾                     11分
當時，，由及
得，                                            12分
③當時，在上為減函數，
及得.                                           13分
綜上，的取值范圍是                              14分