Question

已知函數，.
(Ⅰ)若，求函數在區間上的最值；
(Ⅱ)若恒成立，求的取值范圍. （注：是自然對數的底數）

Answer 1

(Ⅰ) 最大值；(Ⅱ)的取值范圍是.

試題分析：(Ⅰ) 討論去掉絕對值，利用導數求得最值； (Ⅱ) 對分，討論：當時，，恒成立，所以；當時，對討論去掉絕對值，分離出通過求函數的最值求得的范圍.
試題解析：(1) 若，則.當時，，
， 所以函數在上單調遞增；
當時，，.
所以函數在區間上單調遞減，所以在區間[1,e]上有最小值，又因為，
，而，所以在區間上有最大值.
(2)函數的定義域為． 由，得．           （*）
（ⅰ）當時，，，不等式（*）恒成立，所以；
（ⅱ）當時，
①當時，由得，即，
現令， 則，因為，所以，故在上單調遞增，
從而的最小值為，因為恒成立等價于，所以；
②當時，的最小值為，而，顯然不滿足題意.
綜上可得，滿足條件的的取值范圍是.