Question

17．若F₁，F₂分別是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左、右焦點，過點F₁作以F₂為圓心|OF₂|為半徑的圓的切線，Q為切點，若切線段F₁Q被雙曲線的一條漸近線平分，則雙曲線的離心率為（　　）

• A． 2
• B． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 連接PF₁，設PF₂的中點為M，由相切可得PF₁⊥PF₂，運用勾股定理可得|PF₁|=$\sqrt{3}$c，運用中位線定理可得P到漸近線的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$c，由點到直線的距離公式和雙曲線的離心率公式，計算即可得到所求值．

解答 解：設PF₁的中點為M，
由題意可得PF₁⊥PF₂，|PF₂|=c，|F₁F₂|=2c，
可得|PF₁|=$\sqrt{3}$c，
即有P到漸近線的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$c，
由OM為中位線可得F₂（c，0）到漸近線的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$c，
由雙曲線的漸近線方程y=$\frac{a}{b}$x，
可得d=$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$c，
化為3c²=4b²，
又b²=c²-a²，
可得c=2a，即e=$\frac{c}{a}$=2．
故選A．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用直線和圓相切的條件和中位線定理、勾股定理，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．