Question

8．在平面直角坐標系xOy中，拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點為F，過F的直線l交C于A，B兩點，交x軸于點D，B到x軸的距離比|BF|小1．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）若S_△BOF=S_△AOD，求l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）解法一：由拋物線的焦半徑公式，點B到x軸的距離比點B到拋物線準線的距離小1，$\frac{p}{2}=1$，即可求得p的值，求得拋物線方程；
解法二：將$y=\frac{p}{2}$代入x²=2py，得x=p或x=-p，故$|{BF}|=\frac{p}{2}$，由點B到x軸的距離比|BF|小1，$|{BF}|=\frac{p}{2}+1$，即$p=\frac{p}{2}+1$，即可求得p的值，求得拋物線方程；
（Ⅱ）設直線l的方程，代入拋物線方程，由S_△BOF=S_△AOD，則|BF|=|AD|．利用韋達定理可得：${x_1}-（-\frac{1}{k}）={x_2}$，即${x_2}-{x_1}=\frac{1}{k}$，則兩邊平方，即可求得k的值，求得直線l的方程．

解答 解：（Ⅰ）解法一：拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點為F（0，$\frac{p}{2}$），C的準線方程為$x=-\frac{p}{2}$，（1分）
由拋物線的定義，可知|BF|等于點B到C的準線的距離．（2分）
又因為點B到x軸的距離比|BF|小1，
所以點B到x軸的距離比點B到拋物線準線的距離小1，（3分）
故$\frac{p}{2}=1$，解得p=2，
所以C的方程為x²=4y．（4分）
解法二：C的焦點為$F（0，\frac{p}{2}）$，（1分）
將$y=\frac{p}{2}$代入x²=2py，得x=p或x=-p，故$|{BF}|=\frac{p}{2}$，
因為點B到x軸的距離比|BF|小1，$|{BF}|=\frac{p}{2}+1$，即$p=\frac{p}{2}+1$，（2分）
解得p=2，所以C的方程為x²=4y，（3分）
經檢驗，拋物線的方程x²=4y滿足題意．（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得C的焦點為F（0，1），設直線l的方程為y=kx+1（k≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．則$D（-\frac{1}{k}，0）$．（5分）
聯立方程組$\left\{\begin{array}{l}{x^2}=4y\\ y=kx+1\end{array}\right.$消去y，得x²-4kx-4=0．（6分）
△=（-4k）²-4×1×（-4）=16k²+16＞0，
由韋達定理，得x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4．（7分）
設點O到直線l的距離為d，則${S_{△BOF}}=\frac{1}{2}d•|{BF}|$，${S_{△AOD}}=\frac{1}{2}•d|{AD}|$．
又S_△BOF=S_△AOD，所以|BF|=|AD|．（8分）
又A，B，D，F在同一直線上，所以${x_1}-（-\frac{1}{k}）={x_2}$，即${x_2}-{x_1}=\frac{1}{k}$，（9分）
因為${（{x_2}-{x_1}）^2}={（{x_1}+{x_2}）^2}-4{x_1}{x_2}={（4k）^2}-4×（-4）$，（10分）
所以${（4k）^2}-4×（-4）={（\frac{1}{k}）^2}$，整理，得16k⁴+16k²-1=0，
故${k^2}=\frac{{\sqrt{5}-2}}{4}$，解得$k=±\frac{{\sqrt{\sqrt{5}-2}}}{2}$，（11分）
所以l的方程為$y=±\frac{{\sqrt{\sqrt{5}-2}}}{2}x+1$．（12分）

點評 本題拋物線的簡單幾何性質，直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理的應用，考查計算能力，屬于中檔題．