Question

16．在平面直角坐標系上，有一點列P₀，P₁，P₂，P₃，…，P_n-1，P_n，設點P_k的坐標（x_k，y_k）（k∈N，k≤n），其中x_k、y_k∈Z，記△x_k=x_k-x_k-1，△y_k=y_k-y_k-1，且滿足|△x_k|•|△y_k|=2（k∈N^*，k≤n）；
（1）已知點P₀（0，1），點P₁滿足△y₁＞△x₁＞0，求P₁的坐標；
（2）已知點P₀（0，1），△x_k=1（k∈N^*，k≤n），且{y_k}（k∈N，k≤n）是遞增數列，點P_n在直線l：y=3x-8上，求n；
（3）若點P₀的坐標為（0，0），y₂₀₁₆=100，求x₀+x₁+x₂+…+x₂₀₁₆的最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知得|△x₁|•|△y₁|=2，0＜△x₁＜△y₁，$\left\{\begin{array}{l}{△{x}_{1}=1}\\{△{y}_{1}=2}\end{array}\right.$，由此能示出P₁的坐標．
（2）求出p_n（n，1+2n），將P_n（n，1+2n）代入y=3x-8，能求出n．
（3）y₂₀₁₆=△y₁+△y₂+…+△y₂₀₁₆=100，設T_n=x₀+x₁+x₂+…+x_n=n△x₁+（n-1）△x₂+…+2△x_n-1+△x_n，由此能求出x₀+x₁+x₂+…+x₂₀₁₆的最大值．

解答 解：（1）∵x_k∈Z，y_k∈Z，∴△x_k，△y_k∈Z，
又∵|△x₁|•|△y₁|=2，0＜△x₁＜△y₁，
∴$\left\{\begin{array}{l}{△{x}_{1}=1}\\{△{y}_{1}=2}\end{array}\right.$，
∴x₁=x₀+△x₁=0+1=1，
y₁=y₀+△y₁=1+2=3，
∴P₁的坐標為（1，3）．
（2）∵${x}_{0}=0，△{x}_{k}=1（k∈{N}^{*}，k≤n）$，
∴x_n=x₀+△x₁+△x₂+…+△x_n=n，
又|△x_k|•|△y_k|=2，△x_k=1，
∴△y_k=±2，（k∈N^*，k≤n），
∵y_k=y₀+△y₁+△y₂+△y₃+…+△y_n，
{y_k}（k∈N，k≤n）是增數列，
∴$△{y}_{k}=2，（k∈{N}^{*}，k≤n）$，
∴y_k=y₀+△y₁+△y₂+△y₃+…+△y_n=1+2n，
∴p_n（n，1+2n），
將P_n（n，1+2n）代入y=3x-8，得1+2n=3n-8，
解得n=9．
（3）∵y_k=y₀+△y₁+△y₂+△y₃+…+△y_n，
∴y₂₀₁₆=△y₁+△y₂+…+△y₂₀₁₆=100，
設T_n=x₀+x₁+x₂+…+x_n
=x₀+（x₀+△x₁）+（x₀+△x₁+△x₂）+…+（x₀+△x₁+△x₂+…+△x_n）
=n△x₁+（n-1）△x₂+…+2△x_n-1+△x_n，
∵n=2016是偶數，n＞100，
T_n=n△x₁+（n-1）△x₂+…+2△x_n-1+△x_n≤2[n+（n-1）+…+2+1]=n²+n，
當△y₁=△y₂=△y₃=…=△y₁₀₀=1，
△y₁₀₁=-1，…，△y_n-1=1，△y_n=-1，
△x₁=△x₂=△x₃=…=△x_n=2時，（取法不唯一）
（T_n）_max=n²+n，
∴x₀+x₁+x₂+…+x₂₀₁₆的最大值（T₂₀₁₆）_max=2016²+2016=4066272．

點評 本題考查點的坐標的求法，考查實數值的求法，考查數列的前2017項和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意函數性質及構造法的合理運用．