Question

已知函數(shù)f（x）=-x³-ax²+b²x+1（a，b∈R）
（1）若a=1，b=1，求f（x）的極值和單調(diào)區(qū)間；
（2）已知x₁，x₂為f（x）的極值和單調(diào)區(qū)間f（x）的極值點，若當x∈[-1，1]時，函數(shù)y=f（x）的圖象上任意一點的切線斜率恒小于m，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：計算題,導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）f（x）=-x³-x²+x+1，f′（x）=-3x²-2x+1=-（3x-1）（x+1），從而求極值及單調(diào)區(qū)間；
（2）求導f′（x）=-3x²-2ax+b²，從而可得x₁，x₂為-3x²-2ax+b²=0的兩個根；又由|f（x₁）-f（x₂）|=

2

9

|x₁-x₂|可得a²+3b²=1，從而求m．

解答： 解：（1）f（x）=-x³-x²+x+1，
f′（x）=-3x²-2x+1=-（3x-1）（x+1），

x	（-∞，-1）	-1	（-1， 1 3 ）	1 3	（ 1 3 ，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	減	極小值0	增	極大值 32 27	減

f_極小值（x）=f（-1）=0，
f_極大值（x）=f（

1

3

）=

32

27

，
f（x）在（-∞，-1），（

1

3

，+∞）上單調(diào)遞減，在（-1，

1

3

）上單調(diào)遞增；
（2）∵f（x）=-x³-ax²+b²x+1，
∴f′（x）=-3x²-2ax+b²，
故x₁，x₂為-3x²-2ax+b²=0的兩個根；
則x₁+x₂=-

2a

3

，x₁x₂=-

b2

3

，
∵|f（x₁）-f（x₂）|=

2

9

|x₁-x₂|，
∴|x12+x₁x₂+x22+a（x₁+x₂）-b²|=

2

9

，
即|

4a2

9

+

b2

3

-

2a2

3

-

b2

3

|=

2

9

，
∴a²+3b²=1，
∴a²≤1．
k=f′（x）=-3x²-2ax+b²=-3x²-2ax+

1-a2

3

，
f′（x）_max=f′（-

a

3

）=

1

3

，
故m＞

1

3

．

點評：本題考查了函數(shù)的導數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．