Question

矩形ABCD中，AB=2，AD=1，點(diǎn)E、F分別為BC、CD邊上動(dòng)點(diǎn)，且滿足EF=1，則

AE

•

AF

的最大值為（　　）

• A、3
• B、4
• C、5+

  5

• D、5-

  5

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：如圖所示，設(shè)E（2，a），F(xiàn)（b，1）．由EF=1，利用兩點(diǎn)之間的距離公式可得（a-1）²+（b-2）²=1．利用數(shù)量積運(yùn)算可得

AE

•

AF

=2b+a，令a+2b=t與圓的方程聯(lián)立可得5b²-4tb+t²-2t+4=0．當(dāng)直線a+2b=t與圓有公共點(diǎn)時(shí)，△≥0，解出即可得出．

解答：解：如圖所示，
設(shè)E（2，a），F(xiàn)（b，1）．
∵EF=1，∴

(2-b)2+(1-a)2

=1，即（a-1）²+（b-2）²=1．

AE

•

AF

=2b+a，
令a+2b=t，
聯(lián)立

a+2b=t (a-1)2+(b-2)2=1

，
化為5b²-4tb+t²-2t+4=0．
當(dāng)直線a+2b=t與圓有公共點(diǎn)時(shí)，△=16t²-20（t²-2t+4）≥0，
解得t²-10t+20≤0，
解得5-

5

≤t≤5+

5

．
∴

AE

•

AF

的最大值為5+

5

．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了兩點(diǎn)之間的距離公式、向量的數(shù)量積運(yùn)算、直線與圓的位置關(guān)系，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．